Звёздчатые многогранники: как я делал то, чего нет в школьном учебнике геометрии
Паспорт проекта
- Изучить теорию звёздчатых многогранников и их отличие от правильных (Платоновых) тел
- Найти развёртки малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра
- Построить бумажные модели, разобрать ошибки и усовершенствовать процесс сборки
- Проверить формулу Эйлера для звёздчатых тел и объяснить, почему она выглядит иначе
Содержание работы
В 10 классе мы разобрали правильные многогранники. Их ровно пять — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Ещё со времён древних греков известно, что других быть не может. Это доказывается строго, и я знал это доказательство. А потом в книжке «Математические досуги» нашёл фотографию: что-то вроде ёжика из равнобедренных треугольников, симметричное, красивое — и явно не входящее ни в один из пяти. Вопрос «как это вообще называется и как такое сделать?» и стал темой проекта.
Что именно стоит на столе: результат сразу
Два готовых изделия. Первое — малый звёздчатый додекаэдр, 12 «шипов» в виде пятиугольных пирамид, собранных вокруг центрального тела. Похож на морскую звезду или какую-то средневековую деталь от люстры. Второе — большой додекаэдр. Он устроен иначе: внешне похож на 12-гранник, но его грани — не правильные пятиугольники, а самопересекающиеся пятиугольные звёзды (пентаграммы). Оба сделаны из плотной бумаги, раскрашены вручную.
Первая сборка ушла в мусор. Вторая почти получилась, но развалилась при попытке сфотографировать. Третья — та, что стоит сейчас.
Что такое звёздчатые многогранники и чем они отличаются от обычных
Правильные многогранники — выпуклые. У них все грани одного вида, все рёбра одной длины, все вершины равноправны. Больше пяти таких не бывает.
Но если разрешить граням пересекаться, картина меняется. Иоганн Кеплер в 1619 году описал два новых тела: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Их иногда называют телами Кеплера (хотя правильнее — тела Кеплера–Пуансо, потому что Луи Пуансо в 1809 году добавил ещё два варианта). Все четыре тела называются правильными звёздчатыми многогранниками.
Технически это не «новые» фигуры — их можно получить звездчатостью исходных платоновых тел: берёшь грани додекаэдра и продолжаешь их в пространство, пока они снова не пересекутся. В точках пересечения образуются новые «грани». Это и называется звездчатостью.
Формула Эйлера — и почему для звёздчатых она не работает как обычно
Для выпуклых многогранников формула Эйлера V − E + F = 2 работает всегда. V — вершины, E — рёбра, F — грани. Куб: 8 − 12 + 6 = 2. Тетраэдр: 4 − 6 + 4 = 2. Всегда 2.
Для малого звёздчатого додекаэдра: V = 12, E = 30, F = 12 (считая именно звёздчатые пятиугольники как грани). 12 − 30 + 12 = −6. Не 2! Здесь играет роль то, что грани пересекаются — и простая формула перестаёт работать в исходном виде. Для таких случаев Эйлерова характеристика считается иначе, через обобщённое понятие. Это уже топология, и в школьном курсе этого нет. Но именно это меня и зацепило: правило, которое казалось абсолютным, оказалось частным случаем.
Как я строил развёртки и где всё пошло не так
Развёртку (net) для малого звёздчатого додекаэдра я нашёл в интернете — на сайте mathcraft.wonderhowto.com и в PDF-сборнике Ричарда Клоусона. Распечатал на плотной бумаге (160 г/м²), вырезал, попробовал согнуть по линиям.
Первая ошибка: я согнул все линии в одну сторону. У звёздчатых многогранников часть линий — «горы» (mountain fold), часть — «долины» (valley fold). Если перепутать — ничего не склеится. Это как в оригами, только строже.
Вторая ошибка: клей ПВА давал слишком длинное время высыхания, деталь не держалась в нужном положении. Перешёл на клей-карандаш для первой фиксации, потом закрепил ПВА по шву.
Третья ошибка: «шипы» (пятиугольные пирамидки, которые торчат наружу) я собирал отдельно и потом приклеивал. При этом важно, чтобы угол у основания шипа совпадал с углом на центральном теле. Пришлось делать шаблон из картона.
После трёх попыток я понял, что сборка звёздчатого многогранника — это не математика, а ремесло. Геометрия задаёт форму, руки должны её реализовать. Расхождение между «знаю как устроено» и «могу сделать» оказалось больше, чем я думал.
Что меня удивило в истории этих фигур
Кеплер описал звёздчатые тела в книге «Гармония мира» (1619) — той же, где он сформулировал третий закон планетарного движения. Он был убеждён, что орбиты планет описываются правильными многогранниками, вложенными друг в друга. Это было неверно, но попытка найти геометрическую гармонию в устройстве мира привела его к звёздчатым многогранникам как побочному открытию.
Любопытная деталь: за 200 лет до Кеплера эти фигуры, возможно, видел Паоло Уччелло — итальянский художник. В мозаичных полах флорентийских соборов есть орнаменты, очень похожие на развёртки звёздчатых тел. Но письменных свидетельств нет, это только визуальное совпадение.
Что дальше — и что можно добавить к этому проекту
Хочу попробовать два оставшихся тела Кеплера–Пуансо. Большой звёздчатый додекаэдр у меня есть, малый — тоже. Остались большой икосаэдр и большой звёздчатый многогранник Пуансо. Они сложнее: у них больше граней и их сборка требует точности до долей миллиметра в углах.
Если есть доступ к 3D-принтеру — попробуй распечатать каркасную версию. Это проще, чем бумажная сборка, зато можно сделать прозрачным и видеть внутреннюю структуру.
Ещё один маршрут: звёздчатость можно применить не только к додекаэдру. Попробуй построить звёздчатый октаэдр — он называется stella octangula, его описал ещё Кеплер. Это два тетраэдра, вставленных друг в друга: V = 8, E = 12, F = 8 (с самопересечениями). Выглядит эффектно и сборка проще.
Как сделать такой проект — план и советы для защиты
Начни с одного тела, не двух. Малый звёздчатый додекаэдр — самый доступный для начала. Развёртки ищи в PDF-форматах, не по картинкам: развёртки из поиска часто с ошибками в пропорциях.
Бумагу бери плотную, минимум 120–160 г/м². Обычная принтерная не держит форму на шипах. Линии сгиба проведи тупым концом ножниц или шилом по линейке — это делает сгиб аккуратнее.
На защите: покажи модель, объясни формулу Эйлера и почему для звёздчатых она выглядит иначе. Расскажи про Кеплера — это даёт историческую глубину, которая запоминается. И покажи развёртку: это само по себе интересно — плоский листок, который становится трёхмерным телом.
Источники: Ричард Клоусон «Многогранники» (готовые развёртки, есть в свободном доступе); Г.М. Адельсон-Вельский, А.С. Парфёнов «Стереометрия»; сайт mathworld.wolfram.com, статьи Kepler–Poinsot polyhedra; книга В.А. Зальцман «Симметрия и форма» (о платоновых и звёздчатых телах).
Скачать готовую работу
Работа оформлена по ГОСТ, включает титульный лист, оглавление, введение, основную часть, заключение и список литературы.
Оцените работу
Часто задаваемые вопросы
Можно ли использовать этот проект как основу для своей работы?
Да, работа опубликована как образец. Возьмите структуру, логику и источники, но перепишите текст своими словами и добавьте свои данные — это даст высокую уникальность и убережёт от антиплагиата.
Как оформить титульный лист к этой работе?
Воспользуйтесь нашим конструктором титульника — заполните название школы, регион, тему, ФИО и получите готовый лист А4 по ГОСТ за 60 секунд. Ссылка — в блоке «Скачать» выше.
Какая уникальность у этого проекта?
81%. Проверялся через text.ru и антиплагиат.ру. Рекомендуем всё равно переписать ключевые абзацы — тогда уникальность вашей версии будет выше 85%.
Есть ли презентация к работе?
Презентации пока нет, но структуру работы легко адаптировать: введение = слайд 1–2, основная часть = 3–9, выводы = 10–11, спасибо = 12.
Соответствует ли работа ФГОС?
Да. Структура (цель, задачи, гипотеза, продукт, актуальность, выводы) соответствует требованиям ФГОС к индивидуальному проекту для 10 класс по предмету Математика.
Похожие проекты
Почему поиск выдаёт разное: эксперимент с персонализацией результатов
Исследовательский проект по информатике для 10 класса: сравнение результатов поиска по одному запросу в разных условиях — аккаунт, инкогнито, геолокация.
Три силуэта, три судьбы: половозрастные пирамиды Нигера, России и Японии
Практический проект по географии для 10 класса: построение и сравнение половозрастных пирамид трёх стран для наглядной демонстрации демографического перехода.
📘 Практико-ориентированный
Можно ли увидеть ДНК дома: выделение из банана, клубники и киви
В каждой клетке вашего тела — около двух метров ДНК. Свёрнутая, упакованная в хромосомы, но если растянуть — два метра. Клеток в…
📘 Исследовательский
Влияние хронического стресса на иммунную систему подростков
Эту тему я выбрал не случайно. В прошлом учебном году у нас в классе была настоящая эпидемия — с октября по декабрь…
📘 Практико-ориентированный
Советский плакат на войне: как читать то, что не говорят вслух
Вот что у меня получилось в итоге: пошаговый разбор пяти плакатов 1941–1945 годов с аналитическим листом к каждому и методичкой на десять…
📘 Информационный
Ядерные реакторы: как работает АЭС и почему это не взрывается — информационный проект по физике, 10 класс
Информационный проект по физике для 10 класса: от открытия деления ядра (1938) до современных ядерных реакторов — физика цепной реакции, типы реакторов,…
7 отзывов